#ثريد رياضيات، اثبات علاقة الكاشي
بسم الله الرحمن الرحيم
بسم الله الرحمن الرحيم
اذا كان لدينا مثلث ABC
نرسم الارتفاع h
كما هو موضح في الرسم
نرسم الارتفاع h
كما هو موضح في الرسم
في المثلث القائم BCD
يكون
cos C = CD/a
وهذا يعطي ان
CD = a × cos C
ونعلم ان
b = CD + DA
اذا
DA = b - CD
وبالتعويض نجد ان
DA = b - a × cos C....... (1)
يكون
cos C = CD/a
وهذا يعطي ان
CD = a × cos C
ونعلم ان
b = CD + DA
اذا
DA = b - CD
وبالتعويض نجد ان
DA = b - a × cos C....... (1)
في المثلث القائم BCD
يكون
sin C = BD/a
هذا يعطي ان
BD = a × sin C...... (2)
يكون
sin C = BD/a
هذا يعطي ان
BD = a × sin C...... (2)
وحسب مبرهنة فيثاغورث في المثلث القائم ADB نجد ان
c² = BD² + DA²
وبتعويض (1) و (2) نجد ان
c² = (a × sinC)² + (b - a × cosC)²
c² = a² × sin²C + b² - 2a × b ×cosC + a² × cos²C
بترتيب المعادلة
c² = a²sin²C + a²cos²C + a² + b² - 2ab × cosC
c² = BD² + DA²
وبتعويض (1) و (2) نجد ان
c² = (a × sinC)² + (b - a × cosC)²
c² = a² × sin²C + b² - 2a × b ×cosC + a² × cos²C
بترتيب المعادلة
c² = a²sin²C + a²cos²C + a² + b² - 2ab × cosC
باخراج a² عامل مشترك
c² = a²(sin²C + cos²C) + b² - 2ab × cosC
ونعلم ان اياً تكون θ فإن
Sin²θ + Cos²θ = 1
فنجد ان
c² = a² + b² - 2ab × cosC
وهكذا اثبتنا صحة علاقة الكاشي
c² = a²(sin²C + cos²C) + b² - 2ab × cosC
ونعلم ان اياً تكون θ فإن
Sin²θ + Cos²θ = 1
فنجد ان
c² = a² + b² - 2ab × cosC
وهكذا اثبتنا صحة علاقة الكاشي
والحمد الله رب العالمين
الصراحة انا بحثت بالموضوع لانو اخذناه بالمدرسة وحبيت اعرف من وين جت العلاقة
وصلى الله على سيدنا محمد
الصراحة انا بحثت بالموضوع لانو اخذناه بالمدرسة وحبيت اعرف من وين جت العلاقة
وصلى الله على سيدنا محمد
جاري تحميل الاقتراحات...